Question

【题目】某商店试销一种新商品，该商品的进价为40元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价在40～70元之间的调整而不同。当售价在40～50元时，每月销售量都为60件；当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元。

（1）当售价在50～70元时，求每月销售量为y与x的函数关系式？

（2）当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？

（3）若该商店每月采购这种新商品的进货款不低于1760元，则该商品每月最大利润为 元。

Answer 1

【答案】（1）y=—2x+160(50≤x≤70) ；（2）当该商品售价是60元时，该商店每月获利最大，最大利润是800元.（3）792元

【解析】试题分析：（1）由图象可知当售价在50～70元时，y与x满足一次函数的关系，可设y=kx+b(k≠0),把(50,60)，,70,20)代入求出k、b的值即可；

（2）当40≤x≤50，Q=60x—2400，当50≤x≤70，Q=—2（x—60）2+800，在各自的自变量取值的范围内，由函数的增减性可求得各自的最大值，进行比较取大的一个值即可.

（3）由进货款不低于1760元，可得销售量≥44件，即—2x+160≥44，可得x≤58，再由每月利润Q=—2（x—60）2+800，可求得Q在50≤ x≤58的最大值.

试题解析：(1)令y=kx+b

由图知：当x=50时，y=60；当x=70时，y=20.

∴ ∴

∴y=—2x+160(50≤x≤70)

(2)由题可知，

当40≤x≤50

Q=60（x—40）=60x—2400

∵60>0, ∴Q随x的增大而增大，

∴x＝50时，Q有最大值600元.

当50≤x≤70

Q=y（x—40）=2x2+240x—6400=—2（x—60）2+800

∵—2<0, ∴x＝60时，Q有最大值800元.

综上所述，当该商品售价是60元时，该商店每月获利最大，最大利润是800元.

(3)根据题意，得40y≥1760，即y≥44，

所以-2x+160≥44，解得x≤58,

Q=-2（x-60）2+800，

因为-2<0,在对称轴x=60左侧，y随x的增大而增大，

所以当x=58时，Q有最大值，最大值为-2（58-60）2+800=792.