Question

【题目】如图，点E为矩形ABCD中AD边中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在矩形内部的点F处，延长CF交AB于点G，连接AF．

（1）求证：AF∥CE；

（2）探究线段AF，EF，EC之间的数量关系，并说明理由；

（3）若BC＝6，BG＝8，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）

【解析】（1）由对称的性质可得出相等的边与角，通过等腰三角形的性质及等量代换可得出∠EAF＝∠DEC，即可证明AF∥CE；（2）连接DF，证△AFD、△EDC相似，根据相似的性质可推出线段AF，EF，EC之间的数量关系；（3）根据（2）中的数量关系： ，先求出EC、EF的长，进而可求出AF的长.

（1）证明：由折叠矩形ABCD可得，EF＝ED，CF＝CD

∠DEC＝∠FEC，∠EFG＝∠EFC＝∠EDC＝90°

∵点E为AD的中点

∴AE＝ED＝EF

∴∠EAF＝∠EFA

∵∠DEF＝∠EAF＋∠EFA＝∠DEC＋∠FEC

∴∠EAF＝∠DEC

∴AF∥EC

（2）线段AF，EF，EC之间的数量关系为： ，理由如下：

连接DF交EC于P

∵EF＝ED， CF＝CD

∴E，C两点都在线段DF的中垂线上，即EC⊥DF

∴∠DPE＝90°

∵AF∥EC

∴∠AFD＝∠DPE＝∠EDC＝90°

∵∠EAF＝∠DEC，∠AFD＝∠EDC

∴△AFD∽△EDC

∴，即

∴

（3）∵∠GAF＋∠EAF＝∠GFA＋∠EFA＝90°，∠EAF＝∠EFA

∴∠GAF＝∠GFA，∴AG＝FG

在Rt△BGC中，∵BC＝6，BG＝8

∴

∵AB＝CD＝CF，∴8＋AG＝10－FG，∴AG＝FG＝1，∴CF＝CD＝9

∵AD＝BC＝6，∴

∴在Rt△DEC中，

∵，∴，∴