Question

【题目】如图，点E为正方形ABCD中AD边上的一个动点，AB=16，以BE为边画正方形BEFG，边EF与边CD交于点H．

（1）当E为边AD的中点时，求DH的长；
（2）当tan∠ABE= 时，连接CF，求CF的长；
（3）连接CE，求△CEF面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，

∴∠D=∠A=∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，

∴∠AEB=∠DHE，

∴△EDH∽△BAE，

∴ ，

∵E为边AD的中点，

∴DE=AE=8，

∴ ，

∴DH=4；

（2）

解：过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，

∵tan∠ABE= ，AB=16，

∴AE=12，

∴DE=4，

∵∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠MEF=∠ABE，

∴tan∠MEF= ，

∴ME=16，FM=12，

∴DM=12，

∴DM=MF，

∴四边形DGFM是正方形，

∴FG=12，HG=9，

∴CG=4，

∴FC= =4

（3）

解：∵S△CEF=S△CHF+S△CHE= CHEM，

∵△EMF≌△BAE，

∴EM=AB=16，

∴S△CEF=8CH，

∵△EDH∽△BAE，

∴ ，

设AE为x，则DH= （﹣x2+16x）=﹣ （x﹣8）2+4≤4，

∴DH≤4，

∴CH≥12，CH最小值是12，

∴△CEF面积的最小值是96

【解析】（1）根据正方形的性质得到∠D=∠A=∠BEF=90°，根据余角的性质得到∠AEB=∠DHE，根据相似三角形的想知道的 ，代入数据即可得到结论；（2）过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，根据已知条件得到AE=12，求得DE=4，根据余角的性质得到∠MEF=∠ABE，等量代换得到tan∠MEF= 求得ME=16，FM=12，根据勾股定理即可得到结论；（3）由于S△CEF=S△CHF+S△CHE= CHEM，根据全等三角形的性质得到EM=AB=16，求得S△CEF=8CH，根据相似三角形的性质得到 ，设AE为x，于是得到DH= （﹣x2+16x）=﹣ （x﹣8）2+4≤4，即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题．