Question

【题目】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3， ）．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3， ），

∴k=3× =2，

∴反比例函数的表达式为y= ．

又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，

∴2m=2，解得：m=1

（2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，

∵点D（1，2），

∴CD=1．

在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，

解得：x= ，

∴点G（0， ）．

过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．

由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．

∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴ =2，

∴DF=2GD= ，

∴点F的坐标为（ ，0）．

设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，

∴有 ，解得： ．

∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣ x+

【解析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)．