Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴为直线x=﹣1，点E为线段AC的中点，点F为x轴上一动点．

（1）直接写出点B的坐标，并求出抛物线的函数关系式；

（2）当点F的横坐标为﹣3时，线段EF上存在点H，使△CDH的周长最小，请求出点H，使△CDH的周长最小，请求出点H的坐标；

（3）在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（﹣4，0），y=x2+x﹣4；（2）H（， ）；（3）存在，点P的坐标为（﹣1﹣2，﹣），（﹣1﹣， ）．

【解析】试题分析：（1）根据轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据勾股定理，可得CF的长，根据等腰三角形的性质，可得A，C关于EF对称，根据轴对称的性质，可得PA=PC，根据两点之间线段最短，可得P是AD与EF的交点，根据解方程组，可得答案；

（3）根据平行四边形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解：（1）由A、B关于x=﹣1对称，得

B（﹣4，0），

∵抛物线y=ax2+bx﹣4过A（2，0）、B（﹣4，0），

∴ ，

解得： ，

∴y=x2+x﹣4，

（2）如图1

，

当x=0时，y=﹣4，即C（0，﹣4），

y=x2+x﹣4=（x+1）2﹣

∴D（﹣1，﹣ ），

∵E为线段AC的中点，A（2，0），C（0，﹣4），

∴E（1，﹣2）．

∵点F横坐标为﹣3，

∴F（﹣3，0），

∴AF=5，CF===5，

∴AF=CF，

∵E为线段AC的中点，

∴EF垂直平分AC，

∴A、C关于直线EF轴对称，连接AD，与直线EF交点即为所求H，

∴EF⊥AC．

设直线EF关系式为y=k1x+b1，

∴，

解得： ，

∴直线EF：y=﹣x﹣，

设直线AD关系式为y=k2x+b2，

∴，

解得： ，

∴y=x﹣3，

联立AD，EF，得 ，

∴ ，

∴H（， ）．

（3）若CD为对角线，不存在；

若CD为边，则PF∥CD且PF=CD，

∵C（0，﹣4），D（﹣1，﹣ ），点F为x轴上一动点，

如图2

，

PDCF是平行四边形，对角线的纵坐标为﹣，P点纵坐标﹣，

当y=﹣时， x2+x﹣4=﹣，解得x1=﹣1+2（舍），x2=﹣1﹣2，

∴P1（﹣1﹣2，﹣）．

如图3

，

PFDC是平行四边形，对角线的交点坐标为﹣2，P点坐标为，

当y=时， x2+x﹣4=，解得x1=﹣1+（舍），x2=﹣1﹣，

∴P2（﹣1﹣， ）．

综上所述：在y轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标（﹣1﹣2，﹣），（﹣1﹣， ）．