Question

【题目】如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补．
（1）如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；

（2）如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；

（3）如图3，若 =a，且 =b，直接写出 = ．

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：DF=DE，

理由：如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，

∵AB=AC，点D为BC中点，

∴AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∵在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，

∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF与∠MAN互补，

∴∠MDN=∠EDF，

∴∠EDM=∠FDN，

在△DEM与△DFN中，

，

∴△DEM≌△DFN，

∴DE=DF．

（2）解：结论DE：DF=1：k．

理由：如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，

∵BD=DC，

∴S△ABD=S△ADC，

∴ ABDM= ACDN，∵AB=kAC，

∴DN=kDM，

由（2）可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，

∴△DME∽△DNF，

∴ = = ．

（3）
【解析】（3）结论： = ．

理由：如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同（2）可证∠EDM=∠FDN，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN，

∴ = ，

∵ =b，

∴S△ABD：S△ADC=b，

∴ ABDM： ACDN=b，∵AB：AC=a，

∴DM：DN= ，

∴ = = ．

所以答案是 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．