Question

【题目】如图1所示，有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形．

（1）利用它们之间的面积关系，探索出关于a、b、c的等式；

（2）利用（1）中发现的直角三角形中两直角边a，b和斜边c之间的关系，完成问题：如图2，在直角△ABC中，∠C＝90°，且c＝6，a+b＝8，则△ABC的面积为　 　；

（3）如图3所示，CD是直角△ABC中斜边上的高，试证明CD2＝ADBD．

Answer 1

【答案】（1）c2＝a2+b2；（2）7；（3）详见解析．

【解析】

（1）根据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到于a，b，c的等式；

（2）根据（a+b）2=64，a2+b2=c2=36，即可得到ab=14，进而得出△ABC的面积；

（3）证明△ACD∽△CBD 即可得到结论.

（1）由题意得，c2＝4××ab+（b﹣a）2 即c2＝a2+b2

（2）由（1）得，c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣2ab＝36，

∴ab＝14

∴S＝＝7

故答案为：7．

（3）由题可知，∠ACD＝∠CBD

∠ADC＝∠CDB

∠CAD＝∠BCD

∴△ACD∽△CBD

∴，即CD2＝ADBD．