Question

【题目】在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（﹣b，0），若b＝+4，C点是B点关于y轴的对称点．

（1）判断△ABC的形状并证明；

（2）P点在第一象限，且∠APC＝135°，试探究关于PA、PB、PC三条线段的确定数量关系；

（3）E点在BC上，F为线段AE的中点，EF绕E点顺时针旋转60°得到EG，E点从B点沿BC运动到C点，求G点随E点运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，理由详见解析；（2）当点P在△AOC的外部时，PB﹣PC＝PA，当点P在△AOC内部时，PA2＝2PB2+PC2，证明详见解析；（3）6．

【解析】

（1）如图1中，△ABC是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义即可判断．

（2）结论：：①当点P在△AOC的外部时，PB﹣PC＝PA．如图2中，作AE⊥PA交PB于E．证明△BAE≌△CAP（SAS），△AEP是等腰直角三角形即可．②当点P在△AOC内部时，如图2﹣1中，PA2＝2PB2+PC2．

（3）如图3中，连接AG，OG．首先证明∠EOG＝30°，推出点G的运动轨迹是线段（图中线段G″G′），利用等腰直角三角形的性质求出G′G″即可．

（1）如图1中，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

∵b＝

∴a﹣4≥0，8﹣2a≥0

∴a＝4，b＝4

∴A（0，4），B（0，﹣4）

∵B，C关于y轴对称，

∴C（4，0），

∴OA＝OB＝OC，

∵∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）结论：①当点P在△AOC的外部时，PB﹣PC＝PA．

理由：如图2中，作AE⊥PA交PB于E．

∵∠APC+∠ABC＝180°，

∴A，B，C，P四点共圆，

∴∠APE＝∠ACB＝45°，

∵∠EAP＝90°，

∴∠AEP＝∠APE＝45°，

∴AE＝AP，

∵∠BAC＝∠EAP＝90°，

∴∠BAE＝∠CAP，

∵AB＝AC，AE＝AP，

∴△BAE≌△CAP（SAS），

∴BE＝PC，

∴PB﹣PC＝PB﹣BE＝PE＝PA．

②当点P在△AOC内部时，如图2﹣1中，PA2＝2PB2+PC2．

理由：将△PBC绕点B顺时针旋转90°得到△HBA，

∵∠BHP＝45°，∠BHA＝∠BPC＝135°，

∴∠AHP＝90°，

∴PA2＝AH2+PH2，

∵PC＝AH，PH＝PB，

∴PA2＝PC2+2PB2．

（3）如图3中，连接AG，OG．

∵EF＝EG，∠FEG＝60°，

∴△EFG是等边三角形，

∴FG＝FE＝FA，

∴∠AGE＝90°，∠EAG＝30°，

∵∠AGE＝∠AOE＝90°，

∴A，E，G，O四点共圆，

∴∠EOG＝∠EAG＝30°，

∴点G的运动轨迹是线段（图中线段G″G′），

由题意△G′AG″是等腰直角三角形，AG′＝AG″＝2，

∴G′G″＝6．

∴当E点从B点沿BC运动到C点，G点随E点运动的路径长为6．