Question

【题目】在ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E点、CF平分∠DCB交AB于点F．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若BG平分∠ABC交CD于G点，且AD＝2EG＝2，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）14或10．

【解析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠DEA＝∠DCF，可证AE∥CF，即可得结论；

（2）分两种情况讨论，由角平分线的性质和平行四边形性质可求CD的长度，即可求四边形ABCD的周长．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB

∵AE平分∠DAB交CD于E点、CF平分∠DCB交AB于点F．

∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，∠DCF＝∠BCF＝∠DCB，

∴∠EAB＝∠DCF

∵AB∥CD

∴∠DEA＝∠EAB

∴∠DEA＝∠DCF

∴AE∥CF，且AB∥CD

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）如图，当点G在点E右侧，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AD＝BC＝2

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB

∵AB∥CD

∴∠DEA＝∠EAB

∴∠AED＝∠DAE

∴AD＝DE＝2，

同理可得：BC＝GC＝2

∵AD＝2EG＝2

∴EG＝1

∴CD＝DE+EG+GC＝5

∴四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝14

如图，若点G在点E左侧，

同理可得：DE＝GC＝2，GE＝1

∴CD＝DE+EC﹣GE＝3

∴四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝10

综上所述，四边形ABCD的周长为14或10．