Question

【题目】已知，∠ABC=48°，P是∠ABC内一定点，D、E分别是射线BA、BC上的点，当△PDE的周长最小时，∠DPE的度数是__________.

Answer 1

【答案】84°

【解析】试题解析：如图作点P关于直线AB的对称点F，作点P关于直线BC的对称点G，连接FG交AB于D，交BC于E，则△PDE的周长最小．

设∠ABP=∠ABF=x，∠CBP=∠CBG=y，则x+y=48°，

∵BP=BF，

∴∠BPF=∠BFP=（180°-2x）=90°-x．同法可得∠BPG=90°-y，

∴∠FPG=180°-x-y=132°，

∴∠BFP+∠BGP=132°，

∵∠BFG+∠BGF=180°-96°=84°，

∴∠PFG+∠PGF=132°-84°=48°，

∵DF=DP，EP=EG，

∴∠DFP=∠DPF，∠EGP=∠EPG，

∴∠EDP=2∠DFP，∠DEP=2∠EGP，

∴∠PDE+∠PED=96°，

∴∠DPE=180°-96°=84°，

故答案为：84°．