Question

【题目】解决问题时需要思考：是否解决过与其类似的问题.小明从问题1解题思路中获得启发从而解决了问题2.

问题1：如图①，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD上两点，∠EAF＝45°.

求证：∠AEF＝∠AEB.

小明给出的思路为：延长EB到H，满足BH＝DF，连接AH.请完善小明的证明过程.

问题2：如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为AB中点，E、F是AC、BC边上两点，∠EDF＝45°．

（1）求点D到EF的距离．

（2）若AE＝a，则S△DEF＝ （用含字母a的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2，（3）a＋－4

【解析】试题分析：问题1：如图①中，延长EB到H，满足BH=DF，连接AH，只要证明△AHE≌△AFE，即可推出∠AEF=∠AEB；
问题2：（1）如图②中，过点D分别向AC、BC、EF作垂线，垂足分别为G、H、M，利用（1）中即可，根据角平分线的性质定理即可解决问题，
（2）在Rt△DEG中，DE=，由S△AED=AEDG=a，△DEF∽△AED，推出，由此即可解决问题；

试题解析：问题1：证明：如图①中，延长EB到H，满足BH=DF，连接AH

∵AB=AD，∠ABH=∠D=90°，BH=DF，
∴△ADF≌ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
又∵AF=AH，AE=AE，
∴△AHE≌△AFE，
∴∠AEF=∠AEB．
问题2：解：（1）过点D分别向AC、BC、EF作垂线，垂足分别为G、H、M，

∵∠ACB=90°，∴CGDH为矩形，∵AC=BC=4，D为AB中点，
∴DG=DH=BC=2，
∴四边形CGDH为正方形，
由问题1知∠DEG=∠DEM，
∴DM=DG=2．
（2）在Rt△DEG中，DE=，
∵S△AED=AEDG=a，
∵△DEF∽△AED，
∴，
∴S△DEF=．