Question

【题目】如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，设CD=n．

（1）当n=1时，EA的延长线交BC的延长线于F，则AF=；
（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH．
①设∠CBD=x，用含x的式子表示∠ADE和∠ABE．
②求证：△AEH为等边三角形．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：①证明：∵△BDE是等边三角形，

∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，

在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，

即∠ADE+60°=∠CBD+90°=x+90°，

∴∠ADE=30°+∠CBD，

∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，

∴∠HBE=30°+∠CBD，

∴∠ADE=∠HBE，

∴∠ABE=∠ADE=x+90°；

②在△ADE与△HBE中，

，

∴△ADE≌△HBE（SAS），

∴AE=HE，∠AED=∠HEB，

∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，

即∠AEH=∠BED=60°，

∴△AEH为等边三角形

【解析】（1）解：∵△BDE是等边三角形，
∴∠EDB=60°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=180°﹣90°，
∴AF=2AC=2×1=2；
故答案为：2．
（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，再根据平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）①根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，从而得到∠ADE=∠ABE；②然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根据等边三角形的判定即可证明．