Question

【题目】如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y= x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣ ．

（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；
（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ），对称轴是直线x=﹣ ．）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由于抛物线y= x2+bx+c与y轴交于点B（0，3），则 c=3；

∵抛物线的对称轴 x=﹣ =﹣ ，

∴b=5a= ；

即抛物线的解析式：y= x2+ x+3．

（2）

解：∵A（4，0）、B（0，3），

∴OA=4，OB=3，AB= =5；

若四边形ABCD是菱形，则BC=AD=AB=5，

∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）．

将C（﹣5，3）代入y= x2+ x+3中，得： ×（﹣5）2+ ×（﹣5）+3=3，所以点C在抛物线上；

同理可证：点D也在抛物线上．

（3）

解：设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：

，解得

∴直线CD：y=﹣ x﹣ ．

由于MN∥y轴，设 M（t， t2+ t+3），则 N（t，﹣ t﹣ ）；

② t＜﹣5或t＞﹣1时，l=MN=（ t2+ t+3）﹣（﹣ t﹣ ）= t2+ t+ ；

②﹣5＜t＜﹣1时，l=MN=（﹣ t﹣ ）﹣（ t2+ t+3）=﹣ t2﹣ t﹣ ；

若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∥CE，则MN=CE=3，则有：

t2+ t+ =3，解得：t1=﹣3+2 ，t2=﹣3﹣2 ；

﹣ t2﹣ t﹣ =3，解得：t=﹣3；

综上，l=

且当t=﹣3+2 ，t=﹣3﹣2 或﹣3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中，（0，c）代表的是抛物线与y轴的交点，x=﹣ 是抛物线的对称轴，据此确定待定系数．（2）已知A、B点的坐标，由勾股定理能求出AB的长，若四边形ABCD是菱形，那么AD=BC=AB，可据此求出C、D点的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．（3）在求l与t之间的函数解析式时，要分两种情况：①抛物线在直线CD上方、②抛物线在直线CD下方；先根据直线CD与抛物线的解析式，表示出M、N的坐标，它们纵坐标的差即为l的长，当以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形时，由于CE∥MN∥y轴，那么CE必与MN相等，将CE长代入l、t的函数关系式中，即可求出符合条件的t的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．