Question

【题目】阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2 ， 所以A，B两点间的距离为AB= ．
我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2 ， 当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2 ．
问题拓展：
如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2　 ．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，
∵P（a，b），半径为r，
∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ．
故答案为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；
综合应用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中， ，
∴△POB≌△PAB．
∴∠PAB=∠POB=90°．
∴PA⊥AB．
∵PA是半径，PA⊥AB于A，
∴AB是⊙P的切线．
②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．
当点Q在线段BP中点时，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=QA=QB．
∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．
∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，
∴∠PBO=30°．
∴在Rt△POB中， ，PB=2PO=12．
∴B点坐标为 ．
∵Q是PB中点，P（0，6），B ，
∴Q点坐标为 ．
∵ ，
∴以Q为圆心，OQ为半径的⊙Q的方程为
【解析】问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；
综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；
②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA=30°．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．