Question

【题目】等边三角形ABC和等腰三角形ABD按如图所示的位置摆放，∠DAB=90°，AC与BD相交于点E，F为AD上一点，连接EF，CF，CF与BD交于点P，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H. 已知∠ECF=45°.

（1）求证：△CDE≌△DCF；

（2）试判断CD与EF之间的位置关系，并说明理由；

（3）求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF∥CD，理由见解析；（3）.

【解析】分析：（1）首先证明AC=AD，推出∠ADC=∠ACD，再根据∠ADB=∠ACF=45°，即可推出∠FCD=∠EDC，由此即可证明；（2）结论：EF∥CD．只要证明∠AFE=∠ADC即可；（3）设AB=BC=AC=AD=a，求出DG，BH即可解决问题；

本题解析：

(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

∵AB=AD,∠DAB=90°，

∴AD=AC,∠ADB=∠ACF=45°，

∴∠ADC=∠ACD，

∴∠FCD=∠EDC，

在△CDE和△DCF中，

，

∴△CDE≌△DCF.

(2)结论：EF∥CD.

理由：∵△CDE≌△DCF，∴DF=CE，∵AD=AC，∴AF=AE，∴∠AEF=∠AFE，

∵∠ADC=∠ACD,∠EAF+2∠AFE=180°,∠DAC+2∠ADC=180°，

∴∠AFE=∠ADC，∴EF∥CD.

(3)设AB=BC=AC=AD=a，

∵DG⊥AC，BH⊥AC，

在Rt△ADG中,∠DAG=∠DAB∠CAB=90°60°=30°，

∴DG=AD=a，

在Rt△ABH中,BH=ABsin60°=，

∴.