Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，

（1）点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 ；

（2）点E、F、P分别在线段AB、BC、AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）．

【解析】

试题解析：（1）如图1中，取CD中点M，连接EM与AC交于点P，PE+PF的最小值=PE+PM=EM，由此即可解决问题．

（2）如图2，作点F关于AC的对称点M，连接EM与AC交于点P，当EM⊥CD时，PE+PF=PE+PM=EM，此时PE+PF最短，由此即可解决问题．

解：（1）如图1，

取CD中点M，连接EM与AC交于点P，

∵四边形ABCD是菱形，AC=10，DB=24，

∴AC⊥BD，AD=AB==13，

∵DM=MC，CF=FB，CD、CB关于AC对称，

∴M、F关于AC对称，

∴PE+PF=PE+PM=EM最小，

∵AE=EB．DM=MC，

∴AE=DM．AE∥DM，

∴四边形ADME是平行四边形，∴ME=AD=13．

（2）如图2，

作点F关于AC的对称点M，连接EM与AC交于点P，

当EM⊥CD时，PE+PF=PE+PM=EM，此时PE+PF最短（垂线段最短），

∵S菱形ABCD=ACBD=ABEM，

∴×10×24=×13×EM，

∴EM=．