Question

【题目】如图1，点是菱形对角线的交点，已知菱形的边长为12，.

（1）求的长；

（2）如图2，点是菱形边上的动点，连结并延长交对边于点，将射线绕点顺时针旋转交菱形于点，延长交对边于点.

①求证：四边形是平行四边形；

②若动点从点出发，以每秒1个单位长度沿的方向在和上运动，设点运动的时间为，当为何值时，四边形为矩形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②或或或.

【解析】

（1）解直角三角形求出BO即可解决问题；

（2）①想办法证明OE＝OG，HO＝FO即可解决问题；

②分四种情形画出图形，（Ⅰ）如图1，当时，，关于对称，（Ⅱ）如图2，当，关于对称时，，（Ⅲ）如图3，此时与图2中的的位置相同，（Ⅳ）如图4，当，关于对称时，四边形EFGH是矩形．分别求解即可解决问题；

解：（1）∵四边形为菱形，，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴.

（2）①∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，BO＝OD，

∴∠EBO＝∠GDO

∵∠BOE＝∠DOG，

∴△EOB≌△GOD，

∴EO＝GO，同理可得HO＝FO，

∴四边形EFGH是平行四边形．

②由①得四边形为平行四边形，

∴当时，四边形为矩形.

（Ⅰ）如图1，当时，，关于对称.

∵，

∴，

∴.

过点作于点，

∴，.

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（Ⅱ）如图2，当，关于对称时，.

∵，

∴，

∴.

∵，

∴.

∴，

∴；

（Ⅲ）如图3，此时与图2中的的位置相同，

∴，

∴，

∴；

（Ⅳ）如图4，当，关于对称时，

∵，

∴.

∵，

∴.

∴，

∴.

∴，

∴.

综上所述，或或或.