Question

【题目】如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB= BC，点N在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．
（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；
（2）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形EFDG是平行四边形，

理由：如图1，连接AM，

∵E、F、D、G分别为AC、AN、MN、CM的中点，

∴FD=EG= AM，EF=GD= CN，

∴四边形EFDG是平行四边形；

（2）解：四边形EFDG是正方形，

理由：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，

由已知得：点M和点D分别落在BC与AB边上，

∴CM=CB﹣BM=4﹣2=2，

∴CM=BN，

∵∠ACM=∠CBN=90°，AC=BC，

∴△ACM≌△CBN（SAS），

∴AM=CN，∠CAM=∠BCN，

∵∠ACK+∠KCM=90°，

∴∠ACK+∠CAK=90°，

在△ACK中，∠AKC=180°﹣（∠ACK+∠CAK）=180°﹣90°=90°，

由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，

∴四边形EFDG是平行四边形，

∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°，

∴四边形EFDG是矩形，

∵EG= AM= CN=EF，

∴四边形EFDG是正方形．

【解析】（1）四边形EFDG是平行四边形，理由为：如图1，连接AM，由E、F、G、H分别为中点，利用利用中位线定理得到两组对边相等，即可得证；（2）四边形EFDG为正方形，理由为：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，由CB﹣BM求出CM的长，得到CM=BN，再由一对直角相等，AC=BC，利用SAS得到三角形ACM与三角形CBN全等，利用全等三角形对应边、对应角相等得到AM=CN，∠CAM=∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC为直角，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到四边形EFDG为平行四边形，再由一个内角为直角，且邻边相等即可得证．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和三角形中位线定理，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半即可以解答此题．