Question

【题目】如图，AB为半圆O在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2 ， ④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DECD，正确的有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：连接OE，如图所示：

∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，

∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，

∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；

在Rt△ADO和Rt△EDO中， ，

∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），

∴∠AOD=∠EOD，

同理Rt△CEO≌Rt△CBO，

∴∠EOC=∠BOC，

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项①正确；

∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，

∴△EDO∽△ODC，

∴ = ，即OD2=DCDE，选项⑤正确；

∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，

∠A=∠B=90°，

∴△AOD∽△BOC，

∴ = = = ，选项③正确；

同理△ODE∽△OEC，

∴ ，选项④错误；

故选C．

连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DECD，选项⑤正确；由△AOD∽△BOC，可得 = = = ，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得 ，选项④错误．