Question

【题目】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）填空： ①当∠CAB=时，四边形AOED是平行四边形；
②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，

∵E是BC的中点，

O是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥AC，

∠BOE=∠BAC，

∠DOE=∠ADO，

∵OD=OA，

∴∠BAC=∠ADO，

∴∠BOE=∠DOE，

在△DOE与△BOE中，

，

∴△DOE≌△BOE，

∴∠OBE=∠ODE=90°，

∴DE是⊙O的切线

（2）45°；正方形
【解析】解：（2）①当∠CAB=45°时， ∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
又∵∠EDO=90°，
∴DE∥AB，
∵OE∥AC，
∴四边形AOED是平行四边形；
②由①可知：∠EDO=∠DOB=∠ABC=90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵OD=OB，
∴矩形OBED是正方形．
所以答案是：①45°；②正方形．