Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．

(1)如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：　 　；

(2)点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．

①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；

②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示)．

Answer 1

【答案】（1）∠ECO＝∠OAC；（2）①OM＝ON，理由见解析，②EM的值为m+m或m﹣m

【解析】

(1)结论：∠ECO＝∠OAC．理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解决问题即可．

(2)①只要证明△COM≌△AON(ASA)，即可解决问题．

②分两种情形：如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．分别求解即可解决问题．

解：(1)结论：∠ECO＝∠OAC．

理由：如图1中，连接OE．

∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，

∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，

∴∠OCA＝∠A，

∵BE＝ED，BO＝OA，

∴OE∥AD，OE＝AD，

∴CE＝EO．

∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，

∴∠ECO＝∠OAC．

故答案为：∠OCE＝∠OAC．

(2)如图2中，

∵OC＝OA，DA＝DB，

∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，

∴∠COA＝∠ADB，

∵∠MON＝∠ADB，

∴∠AOC＝∠MON，

∴∠COM＝∠AON，

∵∠ECO＝∠OAC，

∴∠MCO＝∠NAO，

∵OC＝OA，

∴△COM≌△AON(ASA)，

∴OM＝ON．

②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，

∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，

∴∠AON＝∠ANO＝15°，

∴OA＝AN＝m，

∵△OCM≌△OAN，

∴CM＝AN＝m，

在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，

∴BD＝m，

∵BE＝ED，

∴CE＝BD＝m，

∴EM＝CM+CE＝m+m．

如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．

∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，

∴∠ONH＝15°+30°＝45°，

∴OH＝HN＝m，

∵AH＝m，

∴CM＝AN＝m﹣m，

∵EC＝m，

∴EM＝EC﹣CM＝m﹣(m﹣m)＝m﹣m，

综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．