Question

【题目】下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）

A.160
B.161
C.162
D.163

Answer 1

【答案】B
【解析】方法一：
解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，
故选B．
方法二：
， ， ， ，… ，
∴ ，
（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）=an﹣a1 ，
∴an﹣a1=4×（3+32+…+3n﹣1）=4×（3+32+…+3n﹣1）= （用错位相减法可求出）
∴ ，
∵a1=5，
∴ ．
由图可以看出：第一个图形中由角上的3个三角形加上中间1个小三角形再加上外围1个大三角形共有5个正三角形；下一个图形的三个角上的部分是上一个图形的全部，另外加上中间一个小的三角形和外围的一个大三角形，所以第二个图形中有5×3+1+1=17个正三角形，第三个图形中有17×3+1+1=53个正三角形，第四个图形中有53×3+1+1=161个正三角形．