Question

【题目】如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由？

（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；

（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，证明见解析；（2）四边形BCFE不可能是菱形，理由见解析；（3）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析.

【解析】分析：（1）OE=OF，利用平行线的性质及角平分线的定义证得∠2=∠3，根据等腰三角形的性质可得OE=OC，同理可得OC=OF，即可得OE=OF；（2）四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，这与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；（3）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF为平行四边形，再证明∠ECF=90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形即可证得结论．

详解：

（1）OE=OF．

证明如下：

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠1=∠2．

∵MN∥BC，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OE=OC．

同理可证OC=OF．

∴OE=OF．

（2）四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，

而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．

（3）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

理由如下：

∵O为AC中点，

∴OA=OC，

∵由（1）知OE=OF，

∴四边形AECF为平行四边形；

∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，

∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，

∴AECF为矩形