Question

【题目】如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），直接写出线段AD与NE的数量关系为 ．

（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），判断△ACN是什么特殊三角形并说明理由．

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置，此时A，B，M三点在同一直线上．若AC=3 ，AD=1，则四边形ACEN的面积为 ．

Answer 1

【答案】
（1）AD=NE
（2）解：（2）结论：△ACN为等腰直角三角形．

理由，如图2，

∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三点在同一直线上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已证），

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形

（3）
【解析】解：（1）结论：AD=NE．

理由：如图1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵点M为DE的中点，

∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，

．

∴△ADM≌△NEM．

∴AD=NE．

解：（3）如图3中，连接CM．

∵AD∥NE，M为中点，

∴易得△ADM≌△NEM，

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE，

∵AD∥NE，

∴AF⊥NE，

在四边形BCEF中，

∵∠BCE=∠BFE=90°

∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+∠ABC=180°

∴∠ABC=∠FEC

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形，

由（1）可知，△AMD≌△NME，

∴AM=MN，AD=NE=1，

∴CM⊥AN，AM=CM=MN，

∵AC=3 ，

∴AM=CM=MN=3，

∴S四边形ACNE=S△AMC+S直角梯形MNEC= ×3×3+ ×（3+1）×3= ．

所以答案是 ．

【考点精析】通过灵活运用旋转的性质，掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．