Question

【题目】如图1，等边△ABC中，D为AC中点，∠EDF=120°，DF交AB于F点，且AF=nBF（n为常数，且n＞1）．

（1）求证：DF=DE；

（2）如图1，求证：AF﹣CE=AB；

（3）如图2，当n=　 　时，过D作DM⊥BC于M点，C为EM的中点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3．

【解析】

（1）过D点作DG∥BC交AB于G点，证明△DGF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明即可；

（2）根据全等三角形的性质得到GF=CE，结合图形证明；

（3）根据直角三角形的性质得到CM=CD，得到GF=AG，根据等边三角形的性质解答．

解：（1）证明：过D点作DG∥BC交AB于G点，

∵DG∥BC，

∴∠ADG=∠ACB=60°=∠A，

∴△AGD为等边三角形，

∴GD=AD=DC，

∵∠GDC=∠FDE=120°，

∴∠GDF=∠DCE，

在△DGF和△DCE中，

∴△DGF≌△DCE（ASA）

∴DF=DE；

（2）∵△DGF≌△DCE，

∴GF=CE，

∵DG∥BC，D为AC中点，

∴AG=AB，

∴AF﹣CE=AF﹣GF=AG=AB；

（3）∵DM⊥BC，∠DCM=60°，

∴CM=CD，

∵C为EM的中点，

∴CE=CD，

由（1）得，CE=GF，

∴GF=CD，

∴GF=AG=GB，

∴AF=3BF，

∴n=3，

故答案为：3．