Question

【题目】已知抛物线的顶点为（1，-4），且经过点B（3，0）.

（Ⅰ）求该抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；

（Ⅱ）点P(m,t)为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P′.

①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；

②当点P′落在第二象限内，P′A2取得最大值时，求m的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2-2x-3，点A的坐标为（-1,0）；（Ⅱ）①m1=,m2=-. ② m=1.

【解析】试题分析： 由顶点坐标可以设抛物线的解析式为： 把点的坐标代入即可求出抛物线的解析式，进而求得抛物线与轴的交点坐标.

（2）①由对称可表示出点的坐标，再由和都在抛物线上，可得到关于的方程，可求得的值；

②由点在第二象限，可求得的取值范围，利用两点间距离公式可用表示出，再由点在抛物线上，可用消去，整理可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时的值，则可求得的值．

试题解析： 设抛物线的解析式为 代入点,

∴抛物线的解析式为:

∴点的坐标为

（Ⅱ）①由P(m,t)在抛物线上可得t=m22m3，

∵点P′与P关于原点对称，

∴P′(m,t)，

∵点P′落在抛物线上，

即

解得或

②②由题意可知P′(m,t)在第二象限，

∴m<0，t>0，即m>0，t<0，

∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，

∴4t<0，

∵P在抛物线上，

∵A(1,0),P′(m,t)，

当时， 取得最大值.

把代入,得

解得