Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连结AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连结NP、BP.

(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；

(2)线段MN与CD交于点Q，连结AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BM＝MC.理由见解析

【解析】试题分析：（1）由已知条件不难证明△ABM≌△BCP，可得出AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，因为∠BAM＋∠AMB＝90°，所以∠CBP＋∠AMB＝90°，所以AM⊥BP，由题意得AM⊥MN，且AM＝MN，所以MN∥BP，MN＝BP，故证明出四边形BMNP是平行四边形；（2）BM＝MC，连接AQ，由已知条件不难证明△ABM∽△MCQ，可得=，因为△MCQ∽△AMQ，

所以△AMQ∽△ABM，可得=，所以=，所以BM＝MC.

试题解析：

(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C.

在△ABM和△BCP中，，

∴△ABM≌△BCP(SAS)，

∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，

∵∠BAM＋∠AMB＝90°，

∴∠CBP＋∠AMB＝90°，

∴AM⊥BP，

∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，

∴AM⊥MN，且AM＝MN，

∴MN∥BP，MN＝BP，

∴四边形BMNP是平行四边形；

(2) BM＝MC，理由如下：

连接AQ，

∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，

∴∠BAM＝∠CMQ，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴=,

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴=,

∴=，

∴BM＝MC.