Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）直线DE是⊙O的切线；（2）．

【解析】试题分析：（1）连接圆心和切点，利用平行，OF⊥CB可证得∠ODF=90°；

（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD、CD的长，根据三角形的面积公式得到DH的长，由勾股定理得到OH的长，根据射影定理得到OD2=OHOE，求得OE的长，从而得到BE的长，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．

试题解析：解：（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠90°，∴BD⊥AC．

∵AB=BC，∴AD=DC．∵OA=OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．

（2）过D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半径R=5，tanC=，∴BC=10，设BD=k，CD=2k，∴BC=k=10，∴k=2，∴BD=2，CD=4，∴DH==4，∴OH==3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OHOE，∴OE=，∴BE=，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴，即，∴BF=2，∴EF==．