Question

【题目】如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为 ，则AK= ．

Answer 1

【答案】2 ﹣3
【解析】解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH= ∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=ABtan∠ABH= × =1，
∴EH=1，
∴FH= ﹣1，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=2（ ﹣1），
∴AK=KH﹣AH=2（ ﹣1）﹣1=2 ﹣3；
故答案为：2 ﹣3．
连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH= ∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．