Question

【题目】如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

（1）请判断：AF与BE的数量关系是______________.位置关系是_______________.

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请做出判断并给与证明.

（图1） （图2）

Answer 1

【答案】（1）AF=BE，AF⊥BE. （2）结论成立

【解析】试题分析：（1）根据正方形和等边三角形可证明△ABE≌△DAF，然后可得BE=AF，∠ABE=∠DAF，进而通过直角可证得BE⊥AF；

（2）类似（1）的证法，证明△ABE≌△DAF，然后可得AF=BE,AF⊥BE，因此结论还成立

试题解析：（1）AF=BE，AF⊥BE.

（2）结论成立.

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC.

∴∠EAD=∠FDC.

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，

即∠BAE=∠ADF.

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF.

∴BE = AF，∠ABE=∠DAF

∵∠DAF +∠BAF=90°

∴∠ABE +∠BAF=90°

∴AF⊥BE.