Question

【题目】已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，点P在射线AC上，连接PB，将线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，AN交直线BC于M．

（1）如图1．若点P与点C重合，则= ，= （直接写出结果）：

（2）如图2，若点P在线段AC上，求证：AP=2MC；

（3）如图3，若点P在线段AC的延长线上，完成图形，并直接写出= ．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）先求出∠C=∠CBN，再利用“角角边”证明△ACM和△NBM全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=MN，MC=MB，再求出AP=AC=2MC，然后求解即可；

（2）过点N作NE⊥BC于E，根据同角的余角相等求出∠PBC=∠BNE，然后利用“角角边”证明△PBC和△BNE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=PC，NE=BC，然后求出AP=CE，AC=NE，再利用“角角边”证明△ACM和△NEM全等根据全等三角形对应边相等可得MC=ME，整理即可得证；

（3）过点N作NE⊥BC交CB的延长线于E，然后与（2）的求解方法相同．

（1）解：∵线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，

∴∠CBN=90°，BC=BN，

∴∠C=∠CBN，AC=BN，

在△ACM和△NBM中，，

∴△ACM≌△NBM（AAS），

∴AM=MN，MC=MB，

∴AP=AC=BC=MC+MB=2MC，

∴=1，=；

（2）证明：如图2，过点N作NE⊥BC于E，

∴∠BNE+∠CBN=90°，

∵线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，

∴∠PBC+∠CBN=90°，

∴∠PBC=∠BNE，

在△PBC和△BNE中，，

∴△PBC≌△BNE（AAS），

∴BE=PC，NE=BC，

∴AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE，AC=NE，

在△ACM和△NEM中，，

∴△ACM≌△NEM（AAS），

∴MC=ME，

∴CE=2MC，

∴AP=2MC；

（3）解：如图3，过点N作NE⊥BC交CB的延长线于E，过点N作NE⊥BC于E，

∴∠BNE+∠CBN=90°，

∵线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，

∴∠PBC+∠CBN=90°，

∴∠PBC=∠BNE，

在△PBC和△BNE中，，

∴△PBC≌△BNE（AAS），

∴BE=PC，NE=BC，

∴AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE，AC=NE，

在△ACM和△NEM中，，

∴△ACM≌△NEM（AAS），

∴MC=ME，

∵AP=AC+PC，

CE=BC+BE=2MC，

∴AP=CE=2MC，

∴=．

故答案为：（1）1，；（3）．