Question

【题目】如图，二次函数y= x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（2，0），B（8，6）代入y= x2+bx+c，得

，

解得： ，

∴二次函数的解析式为y= x2﹣4x+6

（2）解：由y= x2﹣4x+6= （x﹣4）2﹣2，得

二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．

令y=0，得 x2﹣4x+6=0，

解得：x1=2，x2=6，

∴D点的坐标为（6，0）

（3）解：二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．

连接CA，如图，

∵点C在二次函数的对称轴x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根据“两点之间，线段最短”，可得

当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，

此时，由于BD是定值，因此△CBD的周长最小．

设直线AB的解析式为y=mx+n，

把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

，

解得： ，

∴直线AB的解析式为y=x﹣2．

当x=4时，y=4﹣2=2，

∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时，△CBD的周长最小．

【解析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用确定一次函数的表达式和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．