Question

【题目】如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB//x轴，求t的值；

（2）当t=3时，坐标平面内有一点M（不与A重合），使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请求出点M的坐标；

Answer 1

【答案】(1)4;(2) （4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）.

【解析】

（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得出结论，注意分类讨论．

解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为长方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
∴t=4÷1=4（秒），
故t的值为4．
（2）当t=3时，OP=3．
∵OA=4，
∴由勾股定理，得
AP==5．
∴AP=PB=5，AB=5,
∴当△MPB≌△ABP时，此时四边形APBM1是正方形，四边形APBM3是平行四边形，易得M1（4，7）、M3（10，-1）；
当△MPB≌△APB时，此时点M2与点A关于点P对称，易得M2（6，-4）．
当两个三角形重合时，此时符合条件的点M的坐标是（0，4）；
综上所述，点M的坐标为（4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）；