Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值。

Answer 1

【答案】
（1）解：将B、C两点的坐标代入得 ，解得 ，

所以二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3

（2）解：如图，

存在点P，使四边形POP′C为菱形．

设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，

若四边形POPC是菱形，则有PC=PO，

连接PP则PE⊥CO于E，

∴OE=CE= ，

∴y= ，

∴-x2+2x+3= ，

解得x1= ，x2= （不合题意，舍去），

∴P点的坐标为（ ， ）；

（3）解：如图1，

，

过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直线BC的解析式为y=﹣x+3．

则Q点的坐标为（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ= ABOC+ QPBF+ QPOF= ×4×3+ （﹣x2+3x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ，

当x= 时，四边形ABPC的面积最大，

此时P点的坐标为（ ， ），四边形ABPC面积的最大值为 ．

【解析】（1）利用待定系数法将点C、点B的坐标代入函数解析式即可求出结果。
（2）要使四边形POP′C为菱形，因此根据菱形的对角线互相平分，可得到P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，建立方程可得答案。（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，先求出直线BC的函数解析式，根据两函数解析式设点P的坐标，再表示出点Q的坐标，即可表示出PQ的长，再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ，建立函数解析式，就可求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值。
【考点精析】利用确定一次函数的表达式和二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．