Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：∠PCE=∠PEC；
（2）若AB=10，ED= ， sinA= ， 求PC的长．

Answer 1

【答案】解：（1）∵PC是圆O的切线，
∴∠PCA=∠B．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠A+∠B=90°．
∵PD⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°．
∴∠AED=∠B．
∵∠PEC=∠AED，
∴∠PCE=∠PEC．
（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．

∵AB=10，sinA=，
∴BC=AB=6．
∴AC==8．
∵DE=，sinA=，
∴AE=．
∴EC=AC﹣AE=8﹣=．
∵PC=PE，PF⊥EC，
∴EF=．
∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，
∴△AED∽△PEF．
∴，．
解得：EP=．
∴PC=．
【解析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；
（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE= ， 由等腰三角形三线合一的性质可知EF= ， 然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．