Question

【题目】已知二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）如果此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴当y=0时，0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

△=[﹣（m+2）]2﹣4×m×2=m2+4m+4﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2≥0

∴0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）有两个实数根，

即二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）的图象与x轴总有交点

（2）解：∵二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴当y=0时，0=mx2﹣（m+2）x+2=（mx﹣2）（x﹣1），

∴ ，

又∵此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，

∴正整数m的值是：1或2，

即正整数m的值是1或2.

【解析】（1）求出判别式，然后配方可判断其符号，进而可得结论；
（2）解关于x的一元二次方程求出其解，再根据此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数可确定m的值.
【考点精析】掌握抛物线与坐标轴的交点是解答本题的根本，需要知道一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．