Question

【题目】如图,直线y1=kx+2与x轴交于点A(m,0)(m＞4),与y轴交于点B，抛物线y2=ax2﹣4ax+c(a＜0)经过A,B两点.P为线段AB上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．

（1）当m=5时，

①求抛物线的关系式；

②设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示PQ的长，并求当x为何值时，PQ=；

（2）若PQ长的最大值为16，试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系．

Answer 1

【答案】（1）①y=﹣x2+x+2；②当x=1或x=4时，PQ=；

（2）当h=16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；

当h＞16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；

当0＜h＜16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．

【解析】试题分析：（1）①有m=5得到A点坐标，再把A点坐标代入直线解析式求出k得到y1=﹣x+2，接着计算自变量为0时对应的函数值可得B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y2=ax2﹣4ax+c得到a和c的方程组，再解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式；②利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设点P的坐标为（x，﹣x+2），Q（x，﹣x2+x+2），则可表示出PQ=﹣x2+2x，然后利用PQ=得到﹣x2+2x=，然后解方程即可；（2）设P（x，kx+2），则Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的长用l表示，则易得l=ax2﹣（4a+k）x，再利用PQ长的最大值为16大致画出l与x的二次函数图象，由于一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的情况可看作为二次函数l=ax2﹣4ax﹣kx与直线l=h的交点个数，则利用函数图象可判断当h=16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；当h＞16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；当0＜h＜16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．

试题解析：

（1）①∵m=5，∴点A的坐标为（5，0），

把A（5，0）代入y1=kx+2得5k+2=0，解得k=﹣，∴直线解析式为y1=﹣x+2，

当x=0时，y1=2，∴点B的坐标为（0，2）．

将A（5，0），B（0，2）代入，得，解得，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2；

②设点P的坐标为（x，﹣ x+2），则Q（x，﹣ x2+x+2），

∴PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，而PQ=，

∴﹣x2+2x=，解得：x1=1，x2=4，∴当x=1或x=4时，PQ=；

（2）设P（x，kx+2），则Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的长用l表示，

∴l=ax2﹣4ax+2﹣（kx+2）=ax2﹣（4a+k）x，∵PQ长的最大值为16，如图，

当h=16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；

当h＞16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；

当0＜h＜16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．