Question

【题目】已知抛物线，其中，且.

（1）直接写出关于的一元二次方程的一个根；

（2）证明：抛物线的顶点在第三象限；

（3）直线与轴分别相交于两点，与抛物线相交于两点.设抛物线的对称轴与轴相交于,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点,使得与相似.并且，求此时抛物线的表达式.

Answer 1

【答案】（1）x=1（2）证明见解析（3）y=x2+2x﹣3

【解析】

试题分析：（1）根据a+b+c=0，结合方程确定出方程的一个根即可；

（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0，表示出c，判断顶点坐标即可；

（3）根据表示出的b与c，求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m与x，y轴交于B，C两点，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC为等腰直角三角形，确定出三角形三角形ADE面积，根据三角形ADF等于三角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物线解析式．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，a+b+c=0，

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；

（2）证明：∵2a=b，

∴对称轴x=﹣=﹣1，

把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a，

∵a＞0，c＜0，

∴△=b2﹣4ac＞0，

∴＜0，

则顶点A（﹣1，）在第三象限；

（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x==，

解得：x1=﹣3，x2=1，

二次函数解析式为y=ax2+2ax﹣3a，

∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，

∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=﹣1的夹角∠BAE=45°，

∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似，

顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=﹣1，

设对称轴x=﹣1与OF交于点G，

∵直线y=x+m过顶点A（﹣1，﹣4a），

∴m=1﹣4a，

∴直线解析式为y=x+1﹣4a，

联立得：，

解得：或，

这里（﹣1，﹣4a）为顶点A，（﹣1，﹣4a）为点D坐标，

点D到对称轴x=﹣1的距离为﹣1﹣（﹣1）=，AE=|﹣4a|=4a，

∴S△ADE=××4a=2，即它的面积为定值，

这时等腰直角△ADF的面积为1，

∴底边DF=2，

而x=﹣1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由﹣1=0，

解得：a=1，此时抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．