Question

【题目】如下图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B，与直线OC:y=x交于点C.

(1)若直线AB解析式为.

①求点C的坐标；

②根据图象，求关于x的不等式0<-x+10<x的解集；

(2)如下图，作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,ΔOAC的面积为9，且OA=6，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在，求出这个最小值:若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)①C(4，4) ，②4<x<；(2) AQ+PQ存在最小值，最小值为3.

【解析】

（1）①根据直线AB和直线OC相交于点C，将两个函数解析式联立，解方程组即为C(4，4)；②先求出A点坐标，观察图像即可得出不等式的解集为4<x<；

（2）首先在OC上截取OM=OP,连接MQ，通过SAS定理判定△POQ≌△MOQ，从而得出PQ=MQ,进行等式变换AQ+PQ=AQ+MQ,，即可判断当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥0C时，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小值；再由ASA定理判定△AEO≌ΔCEO，最后由OC=OA=6，ΔOAC的面积为9，得出AM=3.

(1)①由題意，

解得：

所以C(4，4)

②把y=0代入,

解得

所以A点坐标为(，0)，

∵C（4,4），

所以观察图像可得：不等式的解集为4<x<；

(2)由题意，在OC上截取OM=OP,连接MQ，

∵ON平分∠AOC,

∴∠AOQ=∠COQ，

又OQ=OQ.

∴△POQ≌△MOQ(SAS)，

∴PQ=MQ,

∴AQ+PQ=AQ+MQ,

当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小，

即AQ+PQ存在最小值

∴AB⊥ON,所以∠AEO=∠CEO,

∴△AEO≌ΔCEO(ASA)，

∴OC=OA=6,

∵ΔOAC的面积为9，

∴OC·AM=9,

∴AM=3,

:AQ+PQ存在最小值，最小值为3.