Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC= AC，OD= BD，

∴OC=OD，

∴四边形OCED是菱形；

（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，

∴BC=2，

∴AB=DC=2 ，

连接OE，交CD于点F，

∵四边形ABCD为菱形，

∴F为CD中点，

∵O为BD中点，

∴OF= BC=1，

∴OE=2OF=2，

∴S菱形OCED= ×OE×CD= ×2×2 =2 ．

【解析】（1）根据平行四边形的定义可得出四边形OCED是平行四边形，然后根据矩形的性质求出OC=OD，然后依据菱形的定义进行判断即可．
（2）首先连接OE，交CD于点F，然后，解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2,接下来，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，最后，依据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解即可.