Question

【题目】如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，圆O的半径为3，并且∠CAB=30°，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）CD与圆O的位置关系是相切，理由详见解析;(2) AD=．

【解析】

（1）连接OC，求出OC和AD平行，求出OC⊥CD，根据切线的判定得出即可；

（2）连接BC，解直角三角形求出BC和AC，求出△BCA∽△CDA，得出比例式，代入求出即可．

（1）CD与圆O的位置关系是相切，

理由是：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAB，

∵∠CAB=∠CAD，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∵OC为半径，

∴CD与圆O的位置关系是相切；

（2）连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∵圆O的半径为3，

∴AB=6，

∵∠CAB=30°，

∴

∵∠BCA=∠CDA=90°，∠CAB=∠CAD，

∴△CAB∽△DAC，

∴

∴

∴