Question

【题目】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.

(1)若∠B＝72°，∠C＝30°，①求∠BAE的度数；②求∠DAE的度数；

(2)探究：如果只知道∠B＝∠C＋42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.

【解析】试题分析：（1）①先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，然后根据角平分线定义得到∠BAE=∠BAC=39°；

②根据垂直定义得到∠ADB=90°，则利用互余可计算出∠BAD=90°﹣∠B=18°，然后利用∠DAE=∠BAE﹣∠BAD进行计算即可；

（2）由∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=∠C+42°可消去∠C得到∠BAC=222°﹣2∠B，则根据角平分线定义得到∠BAE=111°﹣∠B，接着在△ABD中利用互余得∠BAD=90°﹣∠B，然后利用∠DAE=∠BAE﹣∠BAD进行计算即可得到∠DAE=21°．

试题解析：解：（1）①∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣72°﹣30°=78°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=39°；

②∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠B=18°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=39°﹣18°=21°；

（2）能．

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=∠C+42°，∴∠C=∠B﹣42°，∴2∠B+∠BAC=222°，∴∠BAC=222°﹣2∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=111°﹣∠B，在△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（111°﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）=21°．