Question

【题目】对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.

（1）当⊙P的半径为4时，

①在P1（，），P2（，），P3（，）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ；

②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；

（2）已知点P在轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ① ; ② 或

（2）

【解析】分析：（1）①由点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD，可求得点B，C，D的坐标，继而可求得到此矩形四个顶点距离都相等的点E的坐标，然后由⊙P的半径为4，即可求得答案；

②首先设P的坐标为（x，-x+1），易得x2+（-x+1-1）2=42，继而求得答案；

（2）由题意可得|m-1|＜，且|m-1|≠0，继而求得答案．

详解：（1）∵点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD，

∴点B的坐标为（-，2），点C的坐标为（-，0），点D的坐标为（，0），

∴矩形ABCD的中心E的坐标为（0，1），

当⊙P的半径为4时，

①若P1（0，-3），则PE=1+3=4，

若P2（2，3），则PE==4，

若P3（-2，1）则PE=，

∴可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是：P1（0，-3），P2（2，3）；

故答案为：P1（0，-3），P2（2，3）．

②∵设P的坐标为（x，-x+1），

∵E为（0，1），

∴x2+（-x+1-1）2=42，

解得：x=±2，

当x=2时，y=-×2+1=-1；

当x=-2时，y=-×（-2）+1=3；

∴点P的坐标为（2，-1）或（-2，3）；

（2）∵点P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，且⊙P与直线AD没有公共点，

∴|m-1|＜，且|m-1|≠0，

解得：1-＜m＜1+且m≠1．

∴点P的纵坐标m的取值范围为：1-＜m＜1+且m≠1．