Question

【题目】我们知道，在等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形中，三边之间的比例关系分别如图所示：

试借助上述结论，构造图形，解决下面的问题：

如图(1)，已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，

(1) 求证： BD+AB=CB；

(2) 当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图(3)给予证明；

(3) MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD=　 　，CB=　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；(2) ; ；(3)2； .

【解析】试题分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AE+AB即可证得；

（2）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB-AE即可证得；

（3）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．

试题解析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°，

∴∠BCD=∠ACE.

∵四边形ACDB内角和为360°,

∴∠BDC+∠CAB=180°.

∵∠EAC+∠CAB=180°，

∴∠EAC=∠BDC.

又∵AC=DC,

∴△ACE≌△DCB,

∴AE=DB,CE=CB,

∴△ECB为等腰直角三角形,

∴BE=CB.

又∵BE=AE+AB,

∴BE=BD+AB,

∴BD+AB=CB；

(2)如图(2) ABBD=CB.理由如下：

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°∠DCE,∠BCD=90°∠ECD，

∴∠BCD=∠ACE.

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°∠AFC,∠D=90°∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

在△ACE和△DCB中, ，

∴△ACE≌△DCB(ASA)，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

∴BE=CB.

又∵BE=ABAE，

∴BE=ABBD，

∴ABBD=CB.

如图(3):BDAB=CB.理由如下：

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE.

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°∠AFB,∠D=90°∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

∴BE=CB.

又∵BE=AEAB,

∴BE=BDAB，

∴BDAB=CB.

(3)MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，

∴综合了第一个图和第二个图两种情况，

若是第1个图：

由(1)得：△ACE≌△DCB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

∴∠AEC=45°=∠CBD，

过D作DH⊥CB.则△DHB为等腰直角三角形。

BD=BH,

∴BH=DH=1.

直角△CDH中,∠DCH=30°，

∴CD=2DH=2,CH=.

∴CB=+1；

若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H.

解法类似上面,CD=2,得出CB=1；

故答案为：2, +1或1.