Question

【题目】如图：已知正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴的正半轴上，点B坐标为（4，4）．二次函数的图象经过点A、B，且与x轴的交点为E、F．点P在线段EF上运动，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连接AD．

（1）求b、c的值；

（2）在点P运动过程中，当△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；

（3）在点P运动到OC中点时，能否将△AOP绕平面内某点旋转90°后使得△AOP的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） (2)P1（2，0）；P2（2+2，0）；P3（2﹣2，0）．（3）（2，2），（1 ，3），（﹣， ）；

【解析】（1）把（0，4），（4，4）分别代入y=﹣ x2+bx+c中，

得，

解得 ；

（2）解：设P（t，0）①当P点在线段OC上时，如原图所示；

∵∠OAP＜45°，∠BAD＜45°

∵若△AOP∽△ABD，AO=AB，

∴OP=BD，

∴OP=BD=CD=2，

∴t=2

∴P1（2，0）．

②点P在线段CF上时，如图1所示：

∵∠ADB＞∠ODC，

∵∠APO=∠ODC，

∴∠ABD＞∠APO，

∴若△AOP∽△ABD，则=，

在△AOP与△OCD中

∴△AOP≌△OCD（AAS），

∴OP=CD，

∴DB=PC=t﹣4，

∴ ，

解得t=2﹣2 （舍去）或t=2+2，

∴P2（2+2，0）．

③点P在线段OE上时，如图2所示；

∵∠COD+∠ODC=90°，∠HOP+∠APO=90°，∠COD=∠HOP，

∴∠ODC=∠APO，

∵∠ODC＞∠ADB，

∴∠APO＞∠ADB，

∴若△AOP∽△ABD，则=，

在△AOP与△OCD中

∴△AOP≌△OCD（AAS），

∴OP=CD，

∴DB=PC=4﹣t，

∴，

解得t=2+2（舍去）或t=2﹣2，

∴P3（2﹣2，0）．

（3）（2，2），（1 ，3），（﹣， ）；

如图3所示：设△AOP绕点M顺时针旋转90°得到△A′O′P′，且P′、A′两点在抛物线y=﹣ x2+ x+4上，

设O′（x，y），则P′（x，y﹣2），A′（x+4，y）

∴，

解得，

作MG⊥O′A′于G，MH⊥OC于H，设M（a，b），

∵△O′MG≌△MOH，

∴O′G=MH=b，MG=OH=a，

∴，

解得，

∴M（1 ，3）．