Question

【题目】如图，反比例函数y＝的图象经过点(－2，2)，直线y＝－x＋b(b≠0)与双曲线y＝在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于A，B两点．

(1)求k的值；

(2)当b＝－2时，求△OAB的面积，并求出交点P的坐标；

(3)连接OQ，是否存在实数b使S△OBQ＝S△OAB？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)－4；(2) (－－1， －1) ；(3)存在．

【解析】试题分析：（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=-4；
（2）当b=-2时，直线解析式为y=-x-2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（-2，0），D（0，-2），然后根据三角形面积公式求解；
（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（-b，0），利用直线解析式可得到Q（-b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到-b2b=-4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．

试题解析：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（-1，4），

∴k=-1×4=-4；
（2）当b=-2时，直线解析式为y=-x-2，
∵y=0时，-x-2=0，解得x=-2，
∴C（-2，0），
∵当x=0时，y=-x-2=-2，
∴D（0，-2），
∴S△OCD=×2×2=2；
（3）存在．
当y=0时，-x+b=0，解得x=b，则C（b，0），
∵S△ODQ=S△OCD，
∴点Q和点C到OD的距离相等，
而Q点在第四象限，
∴Q的横坐标为-b，
当x=-b时，y=-x+b=2b，则Q（-b，2b），
∵点Q在反比例函数y=-的图象上，
∴-b2b=-4，解得b=-或b=（舍去），
∴b的值为-．