Question

【题目】如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°，D为AC边中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.（1）求证：DE=DF.（2）若AE=8，FC=6，求EF长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF＝10.

【解析】

（1）连接BD，根据等腰直角三角形的性质证明△BED≌△CFD就可以得出DE=DF；

（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CF ，AE＝BF，然后利用勾股定理求EF的长即可．

解：（1）连接BD，

∵D是AC中点，

∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC，

∵∠EDB＋∠FDB＝90°，∠FDB＋∠CDF＝90°，

∴∠EDB＝∠CDF，

在△BED和△CFD中，，

∴△BED≌△CFD（ASA），

∴DE=DF；

（2）∵△BED≌△CFD，

∴BE＝CF＝6，

∵AB＝BC，

∴AE＝BF＝8，

在Rt△BEF中，EF＝．