Question

【题目】基本模型：如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE～△BCF．

（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE～△BCF；

（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°，若设AE=y，BF=x，求y与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8）

【解析】

试题分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；

（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，则=，进而求出y与x的函数关系式．

解：（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，

∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，

∴∠E=∠CFB，

∵∠A=∠B，

∴△AFE∽△BCF；

（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB==8，

∵AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠A=∠B=∠CFE=45°，

由（1）可得△AFE∽△BCF，

∴，

即，

∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），