Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．

（1）直接写出当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．

（2）当点C在线段OB上运动时，四边形ADEC的面积为S．

①求证：四边形ADEC为平行四边形．

②写出s与t的函数关系式，并求出t的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使OC是PC的一半？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=，E（，0）；（2）①证明见解析；②s=36﹣6t﹣2t2（ 0＜t＜3 ）；（3）存在，，或．

【解析】

（1）根据B的坐标（0，6）可得OB=6，再由BC=OB，即可得BC=3，从而求出时间t，根据OE=OP+PE求出点E的坐标；

（2）①连接CD交OP于点G，根据平行四边形的对角线互相平分的性质可得CG=DG，OG=PG，又因PE=AO，可得AG=EG，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得四边形ADEC为平行四边形．；

②根据平行四边形的性质可得，用t表示出AE、OC的长，代入即可得s与t的函数关系式，再根据点C移动的距离和速度求出t的取值范围；

（3）在Rt△COP中，由已知OC是PC的一半，即可得∠CPO=30°，分两种情况，①点C在线段OB上，②点C在线段OB延长线上，在Rt△COP中，利用求解即可．

解：（1）∵B（0，6），∴OB=6，

点C运动到线段OB的中点时，BC=3，∴t=，

则OP=，OE=OP+PE=OP+OA=，

∴E（，0）；

（2）①如图1，连接CD交OP于点G，

在平行四边形PCOD中，CG=DG，OG=PG，

∵AO=PE，

∴AG=EG，

∴四边形ADEC是平行四边形；

②∵AE=t+6，OC=6﹣2t，

∴s=×AE×OC×2=（t+6）×（6﹣2t）

=36﹣6t﹣2t2（ 0＜t＜3 ）

（3）如图2，当点C在线段OB上时，OC=PC，则∠CPO=30°，

，

即，解得，，

如图3，当点C在线段OB延长线上时，

，解得，．