【题目】如图，在中， ， 的垂直平分线分别与， 及的延长线相交于点， ， ，且. ⊙O是的外接圆， 的平分线交于点，交⊙O于点，连接， .

（1）求证： ；

（2）试判断与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若， 求的值.

参考答案：

【答案】（1）证明见解析;（2）与相切． 理由见解析;（3）.

【解析】试题分析：

（1）两个三角形都是直角三角形，有一条直角边相等，只需要得到另一组对应角相等即可；

（2）连接OB，设法结合（1）的结论得到∠DBC=∠OBC，证明∠DBO=90°；

（3）由△HFB与△HBF是一对相似三角形，得到，而△HEF是一个等腰直角三角形，则需要求EF的长，在直角△BEF中BE=AB=1，故要求BF的长，又BF=BC，BC=BE+CE，CE=AE，在直角△ABE中求得AE的长.

试题解析：

（1）∵DF⊥AC，△ABC为Rt△，

∴∠CED＝∠FEB， .

∠ABC＝∠EBF＝Rt∠，

又，∴（）.

（2）与相切． 理由如下：

连接， ∵DF是AB的中垂线，∠ABC＝90°，∴DB＝DC＝DA，

∴∠DBC＝∠C.

由（1）∠DCB＝∠EFB，而∠EFB＝∠OBF，∴∠DBC＝∠OBF.

∴，

∴．∴BD与⊙O相切.

（3）连接，AE.

∵BH是∠EBF的平分线，∴∠EBH＝∠HBF＝45°. ∠HFE＝∠HBE＝45°.

又∠GHF＝∠FHB，∴△GHF∽△FHB，

∴＝，∴HG·HB＝HF2.

∵⊙O是Rt△BEF的外接圆，∴EF为⊙O的直径，∴∠EHF＝90°，

又∠HFE＝45°，∴EH＝HF. ∴EF2＝EH2＋HF2＝2HF2，

∵DF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，

又∵，∴AB=BE=1，∴AE=CE=，所以BF=BC=，

由勾股定理得， ，

∴，∴.

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